مَعرِفة← كل المقالات
الفيزياء الرياضيةموسوعة مَعرِفة

جبر W: تعميم لجبر فيراسورو في نظرية المجال المطابق

جبر Wنظرية المجال المطابقجبر فيراسوروتمثيل الجبرالأنظمة القابلة للتكاملميكانيكا الكمالفيزياء النظرية

جبر W: تعميم لجبر فيراسورو في نظرية المجال المطابق

في سياق نظرية المجال المطابق (Conformal Field Theory) ونظرية التمثيل، يُعد جبر W (W-algebra) جبراً تجميعياً يعمل كتعميم لجبر فيراسورو (Virasoro algebra). تم تقديم هذه الجبر من قبل العالم ألكسندر زامولودتشيكوف، واشتق اسم "جبر W" من حقيقة أن زامولودتشيكوف استخدم الحرف W لتمثيل أحد العناصر في أحد أمثلته الشهيرة.

تعريف جبر W

يُعرف جبر W بأنه جبر تجميعي يتم توليده بواسطة أنماط عدد محدود من الحقول الميرومورفية (meromorphic fields) التي يُرمز لها بـ

W^{(h)}(z)
الحقل الميرومورفي W^{(h)}(z)
، بما في ذلك موتر الطاقة والزخم
T(z)=W^{(2)}(z)
موتر الطاقة والزخم T(z)
. بالنسبة للقيم التي تكون فيها
h eq 2
شرط البعد المطابق h eq 2
، يكون
W^{(h)}(z)
الحقل W^{(h)}(z)
حقلاً أولياً ببعد مطابق
h ∈ rac{1}{2}℃^
البعد المطابق h
.

ترتبط مولدات الجبر

(W_n^{(h)})_{n ∈ ℃}
مولدات الجبر W_n^{(h)}
بالحقول الميرومورفية من خلال توسعات الأنماط التالية:
W^{(h)}(z) = ∑ W_n^{(h)} z^{-n-h}
توسع النمط للحقل W^{(h)}(z)
.

علاقات التبديل والشحنة المركزية

تُعطى علاقات التبديل لـ

L_n = W_n^{(2)}
مولدات فيراسورو L_n
بواسطة جبر فيراسورو، والذي يتم تحديده بواسطة شحنة مركزية
c ∈ ℃
الشحنة المركزية c
. وتكون علاقات التبديل
[L_m, W_n^{(h)}] = ((h-1)m - n) W_{m+n}^{(h)}
علاقة التبديل بين L_m و W_n^{(h)}
مكافئة لافتراض أن
W^{(h)}(z)
الحقل W^{(h)}(z)
هو حقل أولي ببعد
h
البعد h
.

بناءً على مجموعة محدودة من الأبعاد المطابقة

H
مجموعة الأبعاد H
، يمكن توليد عدد من جبر W
(W^{(h)})_{h ∈ H}
مجموعة الحقول المولدة
، والتي قد توجد لقيم محددة من الشحنة المركزية
c ∈ ℃
الشحنة المركزية c
.

طرق بناء جبر W

هناك عدة طرق منهجية لبناء عائلات من جبر W بدلاً من مجرد حل هويات جاكوبي:

1. اختزال درينفيلد-سوكولوف (Drinfeld-Sokolov reduction)

من جبر لي المحدود الأبعاد

ℑ
جبر لي ℑ
، مع تضمين
sl_2 → ℑ
تضمين sl_2 في ℑ
، يمكن بناء جبر W من الجبر الشامل لـ جبر لي الأفيني
X
جبر لي الأفيني X
باستخدام نوع من بناء BRST. في هذه الحالة، تكون الشحنة المركزية لجبر W دالة في مستوى جبر لي الأفيني.

2. بناء الكوزيت (Coset construction)

بالنظر إلى جبر لي المحدود الأبعاد

ℑ
جبر لي ℑ
مع جبر فرعي
ℑ
جبر فرعي
، يمكن بناء جبر W من خلال الجبر الأفيني المقابل. الحقول التي تولد جبر W هي كثيرات الحدود في التيارات من جبر لي الأفيني والتي تتبادل مع تيارات الجبر الفرعي.

أسئلة شائعة

ما هو جبر W؟

هو جبر تجميعي يعمم جبر فيراسورو، ويتم توليده بواسطة أنماط من الحقول الميرومورفية في نظرية المجال المطابق.

من الذي اكتشف جبر W؟

تم تقديمه من قبل الفيزيائي ألكسندر زامولودتشيكوف.

ما هي العلاقة بين جبر W و الشحنة المركزية؟

الشحنة المركزية c هي معلمة تحدد علاقات التبديل في جبر فيراسورو، وهو جزء أساسي من أي جبر W.

اكتشف المزيد

مقالات ذات صلة