فعل بولياكوف في نظرية الأوتار

فعل بولياكوف في نظرية الأوتار

في الفيزياء النظرية، يُعد فعل بولياكوف (Polyakov action) صياغة رياضية أساسية ضمن نظرية المجال المطابقة ثنائية الأبعاد، وتُستخدم لوصف "ورقة العالم" (Worldsheet) التي يرسمها الوتر أثناء حركته في الزمكان. تم تقديم هذا الفعل لأول مرة في عام 1976 من قبل ستانلي ديزير وبرونو زومينو، وبشكل مستقل من قبل إل. برينك وبي. دي فيكيا وبي. إس. هاو، إلا أنه ارتبط باسم الفيزيائي ألكسندر بولياكوف بعد أن استخدمه في عملية تكميم الأوتار في عام 1981.

الصياغة الرياضية

يُعرف فعل بولياكوف رياضياً بالمعادلة التالية:

حيث ترمز المتغيرات إلى ما يلي:

• T: توتر الوتر (String tension).
• g_μν: متريّة المنوع الهدف (Target manifold metric)، وهي التي تصف هندسة الزمكان الذي يتحرك فيه الوتر.
• h_ab: متريّة ورقة العالم (Worldsheet metric).
• h^ab: مقلوب متريّة ورقة العالم.
• h: محدد متريّة ورقة العالم.

يتم اختيار توقيع المتريّة بحيث تكون الاتجاهات الشبيهة بالزمن موجبة (+) والاتجاهات الشبيهة بالمكان سالبة (-). وتُسمى إحداثيات ورقة العالم المكانية بـ σ والزمنية بـ τ. تُعرف هذه الصياغة أيضاً باسم نموذج سيجما غير الخطي (Nonlinear sigma model).

التناظرات العالمية

في سياق نظرية ورقة العالم ثنائية الأبعاد، تُعتبر التناظرات "عالمية" إذا كانت تؤثر على النظرية ككل من وجهة نظر ورقة العالم، حتى لو كانت تناظرات محلية في الزمكان رباعي الأبعاد (مثل تحويلات لورنتز).

تناظر بوانكاريه

يتميز فعل بولياكوف بالثبات (Invariance) تحت تأثير تحويلات الإزاحة في الزمكان وتحويلات لورنتز المتناهية في الصغر:

• تحويلات الإزاحة: Xα → Xα + bα
• تحويلات لورنتز: Xα → Xα + ωβα Xβ

حيث أن bα ثابت، و ωμν = -ωνμ. هذا الثبات يشكل ما يُعرف بتناظر بوانكاريه للمنوع الهدف.

العلاقة مع فعل ليو فيل

من الناحية الفيزيائية، لا يكفي فعل بولياكوف وحده لوصف كافة جوانب حركة الوتر؛ إذ يجب استكماله بـ فعل ليو فيل (Liouville action) لوصف التقلبات الكمية لورقة العالم، وهو أمر ضروري عند التعامل مع الأوتار في أبعاد غير الحرجة.