نظرية المجموعات الموسيقية

توفر نظرية المجموعات الموسيقية مفاهيم أساسية لتصنيف الكائنات الموسيقية ووصف العلاقات بينها. بدأت هذه النظرية من خلال أعمال هوارد هانسون الذي طور مفاهيم لتحليل الموسيقى المقامية، ثم قام منظرون آخرون، مثل ألن فورت، بتطويرها لتحليل الموسيقى اللا مقامية (Atonal Music)، مستندين إلى نظرية الاثنتي عشرة نغمة التي وضعها ميلتون بابيت.

تتميز مفاهيم هذه النظرية بكونها عامة للغاية، حيث يمكن تطبيقها على الأنماط المقامية واللا مقامية في أي نظام ضبط متساوٍ، بل ويمكن توسيع نطاقها ليشمل أنظمة أخرى.

مقارنة بين نظرية المجموعات الموسيقية والرياضية

على الرغم من التشابه في المسمى، إلا أن هناك فروقاً جوهرية بين نظرية المجموعات الموسيقية ونظرية المجموعات الرياضية. فبينما يستخدم الرياضيون مصطلحات مثل الإزاحة (Translation) والانعكاس (Reflection)، يستخدم الموسيقيون مصطلحات التحويل (Transposition) والانعكاس (Inversion).

علاوة على ذلك، ترتبط نظرية المجموعات الموسيقية بعلم التوافيق (Combinatorics) ونظرية المجموعات (Group Theory) أكثر من ارتباطها بنظرية المجموعات الرياضية التقليدية التي تهتم بالمجموعات اللانهائية. في علم التوافيق، تسمى المجموعة غير المرتبة من العناصر "توليفة" (Combination)، بينما تسمى المجموعة المرتبة "تبديلة" (Permutation).

أنواع المجموعات الموسيقية

المفهوم الأساسي في هذه النظرية هو المجموعة الموسيقية، وهي مجموعة غير مرتبة من الطبقات الصوتية (Pitch Classes). يتم تمثيل هذه المجموعات عددياً باستخدام أعداد صحيحة متميزة دون تكرار.

تختلف التدوينات حسب المؤلف، ولكن عادة ما توضع المجموعات بين أقواس مجعدة {} أو أقواس مربعة []. أما التسلسلات المرتبة، فقد يرمز لها بأقواس زاوية ⟨ ⟩ أو أقواس دائرية ( ).

تصنيف المجموعات حسب العدد

• الدياد (Dyad): مجموعة مكونة من عنصرين.
• التريكورد (Trichord): مجموعة مكونة من ثلاثة عناصر.
• التتراكورد (Tetrachord): مجموعة مكونة من أربعة عناصر.
• البنتاكورد (Pentachord): مجموعة مكونة من خمسة عناصر.
• الهيكساكورد (Hexachord): مجموعة مكونة من ستة عناصر.

العمليات الأساسية في نظرية المجموعات

تعتمد النظرية على عمليتين أساسيتين هما التحويل (Transposition) والانعكاس (Inversion). المجموعات التي ترتبط بهاتين العمليتين تنتمي إلى نفس "فئة المجموعة" (Set Class)، حيث تحافظ هذه العمليات على البنية الفاصلة للمجموعة حتى لو تغير طابعها الموسيقي.

هناك عمليات أخرى مثل التكملة (Complementation)، حيث تكون تكملة المجموعة X هي جميع الطبقات الصوتية غير الموجودة في X. كما ركز ألن فورت على علاقة Z (Z-relation)، والتي تحدث بين مجموعتين تشتركان في نفس محتوى الفواصل الإجمالي ولكن لا يمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عبر التحويل أو الانعكاس.