اختبار غولد فيلد-كوانت للكشف عن تباين الخطأ في الإحصاء

اختبار غولد فيلد-كوانت (Goldfeld–Quandt Test)

في علم الإحصاء، يُستخدم اختبار غولد فيلد-كوانت للتحقق من وجود ظاهرة تباين الخطأ غير المتجانس (Heteroscedasticity) في تحليلات الانحدار. يقوم هذا الاختبار بتقسيم مجموعة البيانات إلى جزأين أو مجموعتين، ولهذا السبب يُطلق عليه أحياناً اسم "الاختبار ثنائي المجموعات".

تم اقتراح هذا الاختبار في ورقة بحثية عام 1965 من قبل ستيفن غولد فيلد وريتشارد كوانت. تضمنت الورقة وصفاً لاختبارين: أحدهما بارامتري والآخر لابارامتري، ولكن مصطلح "اختبار غولد فيلد-كوانت" يرتبط عادةً بالاختبار البارامتري فقط.

آلية الاختبار

في سياق الانحدار المتعدد (أو الانحدار أحادي المتغير)، تكون الفرضية المراد اختبارها هي أن تباينات أخطاء نموذج الانحدار ليست ثابتة، بل ترتبط بشكل رتيب (Monotonically) بمتغير تفسيري محدد مسبقاً. على سبيل المثال، إذا تم جمع بيانات عن الدخل والاستهلاك، وتم إجراء انحدار للاستهلاك مقابل الدخل، وكانت التباينات تزداد مع زيادة مستويات الدخل، فيمكن استخدام الدخل كمتغير تفسيري في الاختبار.

الاختبار البارامتري

يتم تنفيذ الاختبار البارامتري من خلال إجراء تحليلات المربعات الصغرى المنفصلة على مجموعتين فرعيتين من مجموعة البيانات الأصلية. يتم تحديد هذه المجموعات بحيث تكون الملاحظات التي تأخذ فيها المتغير التفسيري أدنى القيم في مجموعة واحدة، والقيم الأعلى في المجموعة الأخرى.

• توزيع الأخطاء: يفترض الاختبار البارامتري أن الأخطاء تتبع توزيعاً طبيعياً.
• رتبة المصفوفات: يفترض أن مصفوفات التصميم للمجموعتين الفرعيتين تكون ذات رتبة كاملة.
• إحصائية الاختبار: يتم استخدام نسبة متوسط مربعات أخطاء البواقي (Mean Square Residual Errors) للانحدارات في المجموعتين الفرعيتين. وتتوافق هذه الإحصائية مع اختبار F لتساوي التباينات.

من الشائع في هذا الاختبار حذف جزء من الملاحظات في "المنتصف" لزيادة قوة الاختبار، وغالباً ما يتم حذف الثلث الأوسط من الملاحظات، مع تقليل نسبة الملاحظات المحذوفة مع زيادة حجم العينة.

الاختبار اللابارامتري

الاختبار الثاني المقترح في الورقة هو اختبار لابارامتري، وبالتالي فهو لا يعتمد على افتراض أن الأخطاء تتبع توزيعاً طبيعياً. في هذا الاختبار، يتم تركيب نموذج انحدار واحد لمجموعة البيانات الكاملة، ثم يتم ترتيب مربعات البواقي وفقاً لترتيب المتغير التفسيري المحدد مسبقاً.

تعتمد إحصائية الاختبار على عدد "القمم" (Peaks) في هذه القائمة، أي عدد الحالات التي يكون فيها مربع الباقي أكبر من جميع مربعات البواقي السابقة. يتم بناء القيم الحرجة لهذا الاختبار باستخدام حجة مرتبطة باختبارات التبديل (Permutation Tests).

المزايا والعيوب

المزايا

يوفر اختبار غولد فيلد-كوانت تشخيصاً بسيطاً وبديهياً للأخطاء ذات التباين غير المتجانس في نماذج الانحدار أحادية أو متعددة المتغيرات.

العيوب

• الاعتماد على الترتيب: يتطلب الاختبار ترتيب البيانات بناءً على متغير تفسيري معروف.
• المتغيرات المجهولة: إذا كان هيكل الخطأ يعتمد على متغير غير معروف أو غير مرصود، فإن الاختبار لا يقدم توجيهاً مفيداً.
• العلاقة الرتيبة: يجب أن يكون تباين الخطأ دالة رتيبة للمتغير التفسيري. إذا كانت العلاقة تربيعية مثلاً، فقد يقبل الاختبار خطأً فرضية تجانس التباين.

المتانة (Robustness)

الاختبار ليس متيناً جداً تجاه أخطاء التوصيف. فهو يكتشف تباين الخطأ غير المتجانس ولكنه لا يستطيع التمييز بينه وبين مشاكل التوصيف الأخرى مثل الصيغة الوظيفية غير الصحيحة أو المتغيرات المحذوفة. اقترح جيري ثيرسبي تعديلاً باستخدام نسخة من اختبار Ramsey RESET لتوفير قياس للمتانة.

خصائص العينات الصغيرة

أشار هربرت غليزر في ورقة بحثية عام 1969 إلى أن اختبار غولد فيلد-كوانت يحقق نجاحاً محدوداً إلا في حالات "تباين الخطأ غير المتجانس النقي"، حيث يمكن وصف التباين كدالة للمتغير التفسيري الأساسي فقط.

التنفيذ البرمجي

يمكن تنفيذ اختبار غولد فيلد-كوانت في لغة R باستخدام:

• دالة gqtest في حزمة lmtest (للاختبار البارامتري F فقط).
• دالة goldfeld_quandt في حزمة skedastic (لكلا الاختبارين البارامتري واللابارامتري).