موتر فرادكين (Fradkin tensor)، ويُعرف أيضاً بموتر جاوخ-هيل-فرادكين (Jauch-Hill-Fradkin tensor)، هو قانون حفظ رياضي يُستخدم في تحليل المذبذب التوافقي متعدد الأبعاد والمتماثل في إطار الميكانيكا الكلاسيكية. سُمي هذا الموتر تيمناً بالعلماء جوزيف ماريا جاوخ، وإدوارد لي هيل، وديفيد م. فرادكين.
في الميكانيكا الكمية، يتم استبدال هذا الموتر بـ مؤثر فرادكين (Fradkin operator) ذي القيمة الموترية للتعامل مع المذبذب التوافقي الكمي.
الأهمية الفيزيائية والرياضية
يوفر موتر فرادكين كميات محفوظة كافية لجعل معادلات الحركة للمذبذب التوافقي متكاملة بشكل فائق أقصى (maximally superintegrable). وهذا يعني من الناحية العملية أنه لتحديد مسار النظام، لا يحتاج الفيزيائي إلى حل معادلات تفاضلية معقدة، بل يكفي حل معادلات جبرية بسيطة.
يشبه موتر فرادكين في وظيفته متجه لابلاس-رونج-لينز (Laplace–Runge–Lenz vector) المستخدم في مسألة كبلر؛ حيث ينشأ كلاهما من تناظر مخفي (hidden symmetry) في النظام الفيزيائي، مما يؤدي إلى وجود ثوابت حركة إضافية تتجاوز التناظرات الظاهرة.
التعريف الرياضي
إذا كان هاميلتوني (Hamiltonian) المذبذب التوافقي مُعطى بالعلاقة التالية:
تمثيل رياضي للهاميلتوني H الذي يجمع بين الطاقة الحركية وطاقة الوضع
يُعرف موتر فرادكين (مع إهمال ثابت التطبيع) بالصيغة التالية:
الصيغة الرياضية لمكونات موتر فرادكين F_ij
من الملاحظ أن الهاميلتوني H يمثل أثر الموتر (Trace of the tensor)، أي أن:
H = Tr(F)
بما أن موتر فرادكين هو مصفوفة متماثلة، فإنه بالنسبة لمذبذب توافقي في بُعد n، يحتوي الموتر على n(n+1)/2 - 1 من المكونات المستقلة. على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد، توجد 5 مكونات مستقلة.
خصائص موتر فرادكين
التعامد مع الزخم الزاوي: يكون موتر فرادكين متعامداً مع متجه الزخم الزاوي L = x × p، بحيث أن F_ij L_j = 0.
العلاقة مع متجه الإزاحة: عند ضرب موتر فرادكين في متجه الإزاحة، نحصل على العلاقة: x_i F_ij x_j = E x^2 - L^2 / 2m.
توليد زمرة SU(3): في الأبعاد الثلاثة، تشكل المكونات الخمس المستقلة لموتر فرادكين مع المكونات الثلاث للزخم الزاوي المولدات الثمانية لزمرة SU(3) (الزمرة الوحدوية الخاصة ثلاثية الأبعاد) SU(3)، وتخضع هذه المولدات لعلاقات تبادل (Poisson brackets) محددة: علاقات جبرية تربط بين L و F.
إثبات الحفظ
في ميكانيكا هاميلتون، يتطور أي تابع A في فضاء الطور وفقاً للعلاقة:
A
حيث أن مشتقة التابع بالنسبة للزمن هي:
d A / dt = {A, H}
بالتطبيق على موتر فرادكين، نجد أن مشتقته الزمنية تساوي صفراً، مما يثبت أنه كمية محفوظة عبر الزمن في المذبذب التوافقي.
العملية الحسابية التي تؤدي إلى أن d F_ij / dt = 0
أسئلة شائعة
ما هو موتر فرادكين؟
هو موتر رياضي يمثل قانون حفظ في المذبذب التوافقي متعدد الأبعاد، ويسمح بتحديد مسارات الحركة من خلال معادلات جبرية.
ما الفرق بين موتر فرادكين ومؤثر فرادكين؟
موتر فرادكين يُستخدم في الميكانيكا الكلاسيكية، بينما يُستبدل بمؤثر فرادكين (Fradkin operator) عند التعامل مع المذبذب التوافقي في الميكانيكا الكمية.
لماذا يعتبر موتر فرادكين مهماً في الفيزياء؟
لأنه يكشف عن تناظرات مخفية في المذبذب التوافقي، ويوفر كميات محفوظة كافية لجعل النظام متكاملاً بشكل فائق (superintegrable).
ما هي علاقته بزمرة SU(3)؟
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تشكل مكونات الموتر الخمس مع مكونات الزخم الزاوي الثلاث المولدات الثمانية لزمرة SU(3).
